Fattorizzazione: cos’è e come scomporre (con esempi)

La fattorizzazione o scomposizione fattoriale è il processo di presentare un’espressione matematica o un numero in forma di moltiplicazione. Ricordiamo che il fattori sono gli elementi della moltiplicazione e il risultato è noto come Prodotto.

Tipi di fattorizzazione

In termini generali, possiamo parlare di due tipi di fattorizzazione: la fattorizzazione degli interi e la fattorizzazione delle espressioni algebriche.

Fattorizzazione in numeri primi

Ogni numero intero può essere scomposto nel suo fattori primari. UN numero primo è ciò che è divisibile solo per 1 e per se stesso. Ad esempio, 2 può essere diviso solo per 1 e 2.

Possiamo scomporre un dato numero X come moltiplicazione dei suoi fattori primi. Ad esempio, il numero 525 è composto dai numeri primi 5, 3 e 7 come segue:

dimensione dello stile 16px grassetto 525 grassetto uguale grassetto 5 da elevato a grassetto 2 grassetto per grassetto 3 grassetto per grassetto 7 fine stile

Fattorizzazione di espressioni algebriche

L’obiettivo del factoring è prendere un polinomio complicato ed esprimerlo come prodotto dei suoi fattori polinomiali semplici.

Chiamata fattori o divisori da un’espressione algebrica alle espressioni algebriche che moltiplicate insieme danno la prima espressione come prodotto. Per esempio:

grassetto parentesi a sinistra grassetto x grassetto più grassetto 3 grassetto parentesi a destra grassetto parentesi a sinistra grassetto x grassetto più grassetto 4 grassetto parentesi a destra grassetto uguale grassetto x grassetto 2 grassetto più grassetto 7 grassetto x grassetto più grassetto 12

I fattori sono:

grassetto parentesi a sinistra grassetto x grassetto più grassetto 3 grassetto parentesi a destra grassetto spazio grassetto e grassetto spazio parentesi aperta grassetto x grassetto più grassetto 4 parentesi chiuse

Come scomporre

Quando parliamo di factoring, possiamo seguire i seguenti consigli:

  1. Osservare se c’è un fattore comune, cioè se c’è un fattore che si ripete nei diversi termini.
  2. Ordina l’espressione: a volte quando si organizza l’espressione ci rendiamo conto delle possibilità di factoring.
  3. Scopri se l’espressione è fattorizzabile: a volte siamo in presenza di espressioni che non possono essere scomposte in fattori.
  4. Verificare se i fattori trovati sono a loro volta fattorizzabili.

Passaggi per trovare il fattore comune di un polinomio

Il fattore comune di un polinomio è il passaggio precedente alla fattorizzazione di un polinomio. Spiegheremo passo dopo passo come trovare il fattore comune del seguente polinomio:

grassetto 24 grassetto x elevato a grassetto 8 grassetto y elevato a grassetto 3 grassetto meno grassetto 16 grassetto x elevato a grassetto 6 grassetto y a grassetto 7 grassetto z elevato a grassetto 3

Passo 1

Otteniamo il massimo comune fattore di 24 e 16. I fattori di 24 sono 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24; i fattori di 16 sono 1, 2, 4, 8 e 16. Il massimo comune fattore è 8.

Passo 2

Otteniamo i fattori comuni delle variabili, in questo caso le variabili comuni con la massima potenza comune. Le variabili comuni sono X e e. Il più alto potere comune di X è x6 e il più alto potere comune di e è y3.

Passaggio 3

Scriviamo il fattore comune del polinomio come prodotto dei passaggi 1 e 2 precedenti:

grassetto 8 grassetto x elevato al grassetto 6 grassetto y elevato al grassetto 3

Fattorizzazione dei polinomi

Conosciamo già il fattore comune del polinomio, quindi possiamo passare a fattorizzare:

grassetto 24 grassetto x elevato a grassetto 8 grassetto y elevato a grassetto 3 grassetto meno grassetto 16 grassetto x elevato a grassetto 6 grassetto y a grassetto 7 grassetto z elevato a grassetto 3

Passo 1

Determiniamo il fattore comune del polinomio:

grassetto 8 grassetto x elevato al grassetto 6 grassetto y elevato al grassetto 3

Passo 2

Riscriviamo ogni termine del polinomio in termini di fattore comune. Per questo prima dividiamo il termine per il fattore comune per ottenere un secondo fattore:

numeratore di frazione grassetto 24 grassetto x elevato a grassetto 8 grassetto e elevato a grassetto 3 tra denominatore grassetto 8 grassetto x elevato a grassetto 6 grassetto e elevato a grassetto 3 frazione finale grassetto uguale a grassetto 3 grassetto x elevato a grassetto 2 numeratore di frazione grassetto 16 grassetto x elevato al grassetto 6 grassetto e elevato al grassetto 7 grassetto z elevato al grassetto 3 tra denominatore grassetto 8 grassetto x elevato al grassetto 6 grassetto e elevato al grassetto 3 frazione finale grassetto uguale al grassetto 2 grassetto e elevato al grassetto 4 grassetto z elevato al grassetto 3

Ora sostituiamo ogni termine con il fattore comune e il rispettivo secondo fattore:

grassetto 24 grassetto x elevato a grassetto 8 grassetto e elevato a grassetto 3 grassetto uguale a grassetto 8 grassetto x elevato a grassetto 6 grassetto e elevato a grassetto 3 grassetto da grassetto parentesi sinistra grassetto 3 grassetto x elevato a grassetto 2 grassetto parentesi destra grassetto 16 grassetto x aumentata in grassetto 6 grassetto e aumentata in grassetto 7 grassetto z aumentata in grassetto 3 grassetto è uguale a grassetto 8 grassetto x aumentata in grassetto 6 grassetto e aumentata in grassetto 3 grassetto parentesi sinistra grassetto 2 grassetto e aumentata in grassetto 4 grassetto z aumentata in grassetto 3 grassetto parentesi a destra grassetto 8 grassetto x in grassetto 6 in grassetto e in grassetto 3 in grassetto parentesi a sinistra in grassetto 3 grassetto x in grassetto 2 in grassetto parentesi a destra in grassetto meno grassetto 8 in grassetto x in grassetto 6 in grassetto e in rilievo in grassetto 3 parentesi in grassetto a sinistra in grassetto 2 in grassetto y in grassetto 4 in grassetto z in grassetto 3 in grassetto parentesi a destra

Nota: 8x6y3(3×2)- 8x6y3(2y4z3) non è la forma fattorizzata perché i fattori non sono ancora separati.

Passaggio 3

Usiamo la proprietà distributiva per ottenere il fattore comune:

grassetto 8 grassetto x elevato a grassetto 6 grassetto y elevato a grassetto 3 grassetto parentesi a sinistra grassetto 3 grassetto x elevato a grassetto 2 grassetto meno grassetto 2 grassetto y elevato a grassetto 4 grassetto z elevato a grassetto 2 grassetto parentesi a destra

Passaggio 4

Esaminiamo i passaggi:

grassetto 24 grassetto x elevato a grassetto 8 grassetto e elevato a grassetto 3 grassetto meno grassetto 16 grassetto x aumentato a grassetto 6 grassetto e elevato a grassetto 7 grassetto z elevato a grassetto 2 grassetto uguale a grassetto 8 grassetto x elevato a grassetto 6 grassetto e elevato a grassetto 3 grassetto.  spazio in grassetto grassetto parentesi a sinistra grassetto 3 grassetto x al grassetto 2 grassetto meno grassetto 2 grassetto y al grassetto 4 grassetto z al grassetto 3 parentesi a destra in grassetto

Fattorizzazione di quattro termini

Possiamo scomporre un polinomio a quattro termini raggruppandoli in coppie. Diamo un’occhiata al seguente esempio:

grassetto ascia grassetto più audace da audace più audace ay grassetto più audace bx

Passo 1

Riorganizziamo i termini in modo tale che i primi due abbiano un fattore comune e anche gli altri due abbiano un fattore comune:

grassetto ascia grassetto più grassetto con grassetto più grassetto ay grassetto più grassetto bx grassetto uguale grassetto spazio grassetto ascia grassetto più grassetto bx grassetto più grassetto ay grassetto più grassetto più grassetto più grassetto parentesi a sinistra grassetto ascia grassetto più bx grassetto parentesi a destra grassetto più grassetto parentesi a sinistra grassetto ay grassetto più grassetto da parentesi grassetto a destra

Passo 2

Consideriamo il X del primo mandato e del e come fattore comune del secondo termine:

grassetto uguale grassetto x grassetto parentesi a sinistra grassetto a grassetto più grassetto b grassetto parentesi a destra grassetto più grassetto e grassetto parentesi a sinistra grassetto a grassetto più grassetto b grassetto parentesi a destra

Passaggio 3

Usiamo la proprietà distributiva per fattorizzare il termine (a+b) dell’espressione:

grassetto x grassetto parentesi a sinistra grassetto a grassetto più grassetto b grassetto parentesi a destra grassetto più grassetto e grassetto parentesi a sinistra grassetto a grassetto più b grassetto parentesi a destra grassetto uguale grassetto parentesi a sinistra grassetto a grassetto più b grassetto parentesi a destra grassetto parentesi a sinistra grassetto x grassetto più grassetto e parentesi a destra più audaci

Fattorizzazione di un’equazione quadratica

Quando abbiamo un polinomio di tre termini, questo può essere a trinomio quadratico della forma ax2+bx+c. Questa espressione si ottiene dalla moltiplicazione di due binomi:

grassetto parentesi a sinistra grassetto x grassetto più grassetto 7 grassetto parentesi a destra grassetto parentesi a sinistra grassetto x grassetto più grassetto 2 grassetto parentesi a destra grassetto uguale grassetto x grassetto 2 grassetto più grassetto 9 grassetto x grassetto più grassetto 14

Quando si scompone un’equazione quadratica come x2+9x+14vogliamo ottenere i due binomi che l’hanno originato: (x+7)(x+2).

Fattorizzazione di un’equazione quadratica per tentativi ed errori

Per l’espressione 4×2-11x-3 cerchiamo due fattori binomiali. 4×2 è il primo termine, quindi la moltiplicazione dei primi coefficienti numerici dei binomi deve essere 4. L’ultimo termine è -3, quindi gli ultimi termini dei fattori hanno segni diversi il cui prodotto è -3. Possiamo provare varie combinazioni:

grassetto 4 grassetto x grassetto 2 grassetto meno grassetto 11 grassetto x grassetto meno grassetto 3 grassetto uguale a grassetto ?  sopra parentesi a sinistra grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto parentesi a destra in grassetto spazio in grassetto a sinistra grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto parentesi a destra in grassetto parentesi grassetto 2 grassetto x grassetto più grassetto 1 grassetto parentesi destra grassetto uguale grassetto parentesi sinistra grassetto 2 grassetto x grassetto parentesi destra grassetto parentesi sinistra grassetto 2 grassetto x grassetto parentesi destra grassetto più grassetto parentesi sinistra grassetto 2 grassetto x grassetto parentesi destra grassetto parentesi sinistra grassetto 1 grassetto parentesi a destra grassetto più grassetto parentesi a sinistra grassetto meno grassetto 3 grassetto parentesi a destra grassetto parentesi a sinistra grassetto 2 grassetto x grassetto parentesi a destra grassetto più grassetto parentesi a sinistra  sbagliato grassetto meno grassetto 3 grassetto parentesi a destra grassetto parentesi a sinistra grassetto 1 grassetto parentesi a destra spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto grassetto uguale grassetto 4 spazio in grassetto x elevato a grassetto 2 in grassetto più grassetto 2 in grassetto x grassetto meno grassetto 6 in grassetto x grassetto meno grassetto 3 spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto  io grassetto spazio grassetto spazio grassetto grassetto uguale grassetto 4 grassetto x elevato a grassetto 2 grassetto meno grassetto 4 grassetto x grassetto meno grassetto 3 grassetto spazio

Questa opzione non è corretta.

grassetto 4 grassetto x grassetto 2 grassetto meno grassetto 11 grassetto x grassetto meno grassetto 3 grassetto uguale a grassetto ? sopra in grassetto parentesi a sinistra in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto parentesi a destra in grassetto parentesi a sinistra in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto parentesi a destra in grassetto grassetto parentesi a sinistra in grassetto 4 grassetto x grassetto meno grassetto 3 parentesi a destra in grassetto grassetto parentesi a sinistra in grassetto x grassetto più grassetto 1 grassetto parentesi destra grassetto uguale grassetto parentesi sinistra grassetto 4 grassetto x grassetto parentesi destra grassetto parentesi sinistra grassetto x grassetto parentesi destra grassetto più grassetto parentesi sinistra grassetto 4 grassetto x grassetto parentesi destra grassetto parentesi sinistra grassetto 1 grassetto parentesi destra grassetto grassetto più grassetto parentesi a sinistra grassetto meno grassetto 3 grassetto parentesi a destra grassetto parentesi a sinistra grassetto x grassetto parentesi a destra grassetto più grassetto parentesi a sinistra grassetto meno grassetto 3  grassetto parentesi a destra grassetto parentesi a sinistra grassetto 1 grassetto parentesi a destra grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto grassetto è uguale a grassetto 4 in grassetto x grassetto 2 in grassetto più grassetto 4 in grassetto x grassetto meno grassetto 3 in grassetto x grassetto meno grassetto 3 in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto uguale a grassetto 4 nero  rita x alzato in grassetto 2 grassetto più grassetto x grassetto meno grassetto 3 grassetto spazio

Questa opzione non è corretta.

grassetto 4 grassetto x grassetto 2 grassetto meno grassetto 11 grassetto x grassetto meno grassetto 3 grassetto uguale a grassetto ?  sopra parentesi in grassetto a sinistra spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto parentesi a destra in grassetto spazio in grassetto parentesi a sinistra spazio in grassetto spazio in grassetto parentesi a destra in grassetto spazio in grassetto parentesi a destra in grassetto grassetto 4 parentesi a sinistra in grassetto più grassetto 1 parentesi a destra in grassetto parentesi a sinistra in grassetto grassetto x grassetto meno grassetto 3 grassetto parentesi a destra grassetto uguale grassetto parentesi a sinistra grassetto 4 grassetto x grassetto parentesi a destra grassetto parentesi a sinistra grassetto x grassetto parentesi a destra grassetto più grassetto parentesi a sinistra grassetto 4 grassetto x grassetto parentesi a destra grassetto parentesi a sinistra grassetto meno grassetto 3 grassetto parentesi grassetto a destra più parentesi in grassetto grassetto a sinistra 1 parentesi in grassetto a destra grassetto parentesi in grassetto a sinistra x parentesi in grassetto a destra grassetto più parentesi in grassetto a sinistra grassetto 1 parentesi in grassetto  esis destra grassetto parentesi sinistra grassetto meno grassetto 3 grassetto parentesi destra grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto grassetto è uguale a grassetto 4 spazio in grassetto x grassetto 2 in grassetto meno grassetto 12 spazio in grassetto più in grassetto x spazio in grassetto meno grassetto 3 spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto uguale a grassetto 4 spazio in grassetto x el  evaso in grassetto 2 grassetto meno grassetto 11 grassetto x grassetto meno grassetto 3 grassetto spazio

Questa è l’opzione corretta.

Fattorizzazione di un’equazione quadratica per raggruppamento

Per fattore per raggruppamento, identifichiamo i coefficienti a, B e C e cerchiamo due fattori corrente alternata la cui somma è B. Ad esempio, per l’equazione 4×2-11x-3i coefficienti sono a=4, B=-11 e C=-3.

I fatti corrente alternata=(4)(-3)=-12. Due fattori di -12 che sommano a -11 sono -12 e 1.

Ora sostituiamo il termine medio di 4×2-11x-3 insieme a -12x+1x.

grassetto 4 grassetto x elevato a grassetto 2 grassetto meno grassetto 11 grassetto x grassetto meno grassetto 3 grassetto uguale grassetto 4 grassetto x elevato a grassetto 2 grassetto meno grassetto 12 grassetto x grassetto più grassetto 1 grassetto x grassetto meno grassetto 3

Raggruppiamo i termini a coppie e cerchiamo il fattore comune:

grassetto è uguale grassetto parentesi sinistra grassetto 4 grassetto x alzato in grassetto 2 grassetto meno grassetto 12 grassetto x grassetto parentesi destra grassetto più grassetto parentesi sinistra grassetto 1 grassetto x grassetto meno grassetto 3 grassetto parentesi destra grassetto uguale grassetto 4 grassetto x grassetto parentesi sinistra grassetto x grassetto meno grassetto 3 grassetto parentesi destra grassetto più grassetto parentesi sinistra grassetto x grassetto meno grassetto 3 grassetto parentesi destra

Applichiamo la proprietà distributiva al fattore (x-3):

grassetto uguale grassetto parentesi a sinistra grassetto x grassetto meno grassetto 3 grassetto parentesi a destra grassetto parentesi a sinistra grassetto 4 grassetto x grassetto più grassetto 1 grassetto parentesi a destra

La forma fattorizzata è quindi:

grassetto 4 grassetto x grassetto 2 grassetto meno grassetto 11 grassetto x grassetto meno grassetto 3 grassetto uguale grassetto parentesi a sinistra grassetto x grassetto meno grassetto 3 grassetto parentesi a destra grassetto parentesi a sinistra grassetto 4 grassetto x grassetto più grassetto 1 grassetto parentesi a destra

Fattorizzazione di trinomi quadrati perfetti

Un trinomio quadrato perfetto è quello in cui il valore assoluto del coefficiente b è uguale al doppio del prodotto delle radici di a e C:

aprire la barra verticale in grassetto b chiudere la barra verticale in grassetto è uguale a grassetto 2 radice quadrata di grassetto a radice quadrata di grassetto c

Ad esempio, nell’equazione 4×2-20x+25, a=4, B=-20, C=25, quindi:

aprire barra verticale grassetto b chiudere barra verticale grassetto è uguale a barra verticale aperta grassetto meno grassetto 20 chiudere barra verticale grassetto è uguale a grassetto 20 grassetto 2 radice quadrata di grassetto a radice quadrata di grassetto c grassetto è uguale a grassetto 2 radice quadrata di grassetto 4 radice quadrata di grassetto 25 grassetto è uguale a grassetto 2 grassetto.  grassetto 2 grassetto.  grassetto 5 grassetto uguale grassetto 20

Questo lo indica 4×2-20x+25 può essere scomposto come quadrato di un binomio:

grassetto 4 grassetto x grassetto 2 grassetto meno grassetto 20 grassetto x grassetto meno grassetto 25 grassetto uguale grassetto parentesi a sinistra grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto spazio in grassetto parentesi a destra grassetto 2

Il primo termine sarà la radice quadrata di 4×2 e l’ultimo termine sarà la radice quadrata di C:

grassetto 4 grassetto x grassetto 2 grassetto meno grassetto 20 grassetto x grassetto più grassetto 25 grassetto uguale grassetto parentesi sinistra grassetto 2 grassetto x grassetto meno grassetto 5 grassetto parentesi destra grassetto 2

Il segno nel binomio è lo stesso del termine medio del trinomio.

Vedi anche equazioni quadratiche di secondo grado.

Fattorizzazione dei binomi

I binomi fattoriali sono:

  • la differenza di due quadrati (x2-y2),
  • la differenza di due cubi (x3-y3) e
  • la somma di due cubi (x3+y3).

La fattorizzazione della differenza di due quadrati (x2-y2) è:

grassetto x grassetto più grassetto 2 grassetto meno grassetto più grassetto 2 grassetto uguale grassetto parentesi a sinistra grassetto x grassetto più grassetto e grassetto parentesi a destra grassetto parentesi a sinistra grassetto x grassetto meno grassetto e grassetto parentesi a destra

Esempio:

grassetto 9 grassetto x grassetto 2 grassetto meno grassetto 25 grassetto più grassetto 2 grassetto uguale grassetto parentesi a sinistra grassetto 3 grassetto x grassetto più grassetto 5 grassetto e grassetto parentesi a destra grassetto parentesi a sinistra grassetto 3 grassetto x grassetto meno grassetto 5 grassetto e grassetto parentesi a destra

La fattorizzazione della differenza di due cubi (x3-y3) è:

grassetto x alzato in grassetto 3 grassetto meno grassetto e alzato in grassetto 3 grassetto uguale a grassetto parentesi sinistra grassetto x grassetto meno grassetto e grassetto parentesi destra grassetto parentesi sinistra grassetto x alzato in grassetto 2 grassetto più grassetto xy grassetto più grassetto e alzato in grassetto 2 parentesi a destra in grassetto

Esempio:

grassetto 64 da grassetto a grassetto grassetto 3 grassetto meno grassetto 125 grassetto uguale grassetto parentesi a sinistra grassetto 4 da grassetto a grassetto meno grassetto 5 grassetto parentesi a destra grassetto parentesi a sinistra grassetto 16 da grassetto a grassetto 2 grassetto più grassetto 20 da grassetto a grassetto più grassetto 25 grassetto parentesi a destra

La fattorizzazione della somma di due cubi (x3+y3) è:

grassetto x alzata in grassetto 3 grassetto più grassetto e alzata in grassetto 3 grassetto uguale a grassetto parentesi sinistra grassetto x grassetto più grassetto e grassetto parentesi destra grassetto parentesi sinistra grassetto x alzata in grassetto 2 grassetto meno grassetto xy grassetto più grassetto e alzata in grassetto 2 parentesi a destra in grassetto

Esempio:

grassetto 8 grassetto x grassetto 3 grassetto più grassetto 27 grassetto uguale grassetto parentesi a sinistra grassetto 2 grassetto x grassetto più grassetto 3 grassetto parentesi a destra grassetto parentesi a sinistra grassetto 4 grassetto x grassetto in rilievo 2 grassetto meno grassetto 6 grassetto x grassetto più grassetto 9 grassetto parentesi a destra

Guarda anche

Esercizi di fattorizzazione risolti

1. Scomponi la seguente espressione:

grassetto x grassetto parentesi a sinistra grassetto x grassetto meno grassetto 1 grassetto parentesi a destra grassetto spazio in grassetto più grassetto spazio in grassetto 2 grassetto parentesi a sinistra grassetto x grassetto meno grassetto 1 grassetto parentesi a destra

Passo 1

Il fattore comune è (x-1).

Passo 2

Applicare la proprietà distributiva al fattore (x-1):

grassetto x grassetto parentesi a sinistra grassetto x grassetto meno grassetto 1 grassetto parentesi a destra grassetto più grassetto 2 grassetto parentesi a sinistra grassetto x grassetto meno grassetto 1 grassetto parentesi a destra grassetto uguale grassetto parentesi a sinistra grassetto x grassetto meno grassetto 1 grassetto parentesi a destra grassetto parentesi a sinistra grassetto x grassetto grassetto 2 grassetto parentesi a destra

2. Scomponi la seguente espressione:

grassetto 100 grassetto x elevato a grassetto 4 grassetto y elevato a grassetto 2 grassetto z grassetto meno grassetto 25 grassetto x elevato a grassetto 2 grassetto y elevato a grassetto 2 grassetto z

Passo 1

Prendiamo come fattore comune 25x2y2z

grassetto 100 grassetto x elevato a grassetto 4 grassetto e elevato a grassetto 2 grassetto z grassetto meno grassetto 25 grassetto x elevato a grassetto 2 grassetto e elevato a grassetto 2 grassetto z grassetto uguale a grassetto 25 grassetto x elevato a grassetto 2 grassetto e elevato a grassetto 2 grassetto z grassetto.  spazio in grassetto grassetto 4 grassetto x aumentato in grassetto 2 grassetto meno grassetto 25 grassetto x aumentato in grassetto 2 grassetto y aumentato in grassetto 2 grassetto z grassetto.  grassetto 1 grassetto è uguale a grassetto 25 grassetto x elevato a grassetto 2 grassetto y elevato a grassetto 2 grassetto z grassetto parentesi a sinistra grassetto 4 grassetto x elevato a grassetto 2 grassetto meno grassetto 1 grassetto parentesi a destra

Passo 2

Consideriamo la differenza di due quadrati che è 4×2-1.

grassetto 4 grassetto x elevato a grassetto 2 grassetto meno grassetto 1 grassetto uguale grassetto parentesi sinistra grassetto 2 grassetto x grassetto meno grassetto 1 grassetto parentesi destra grassetto parentesi sinistra grassetto 2 grassetto x grassetto più grassetto 1 grassetto parentesi destra

Passaggio 3

La forma fattorizzata completa è:

grassetto 25 grassetto x grassetto in rilievo 2 grassetto y in rilievo grassetto 2 grassetto z parentesi aperte grassetto 2 grassetto x grassetto meno grassetto 1 parentesi chiuse aperte parentesi grassetto 2 grassetto x grassetto più grassetto 1 parentesi chiuse

3. Scomponi la seguente espressione:

grassetto x aumentato a grassetto 2 grassetto meno grassetto 7 grassetto x grassetto meno grassetto 30

Passo 1

Questa espressione è un’equazione quadratica, quindi cerchiamo fattori binomiali:

grassetto x elevato a grassetto 2 grassetto meno grassetto 7 grassetto x grassetto meno grassetto 30 grassetto uguale parentesi aperta spazio spazio spazio spazio spazio spazio chiuso parentesi aperta parentesi spazio spazio spazio spazio spazio chiuso parentesi

Passo 2

Stiamo cercando due numeri che moltiplicati danno -30 e sommati danno -7. Proviamo con -10 e 3:

parentesi aperte grassetto x grassetto meno grassetto 10 parentesi chiuse aperte parentesi grassetto x grassetto più grassetto 3 parentesi chiuse grassetto uguale grassetto x grassetto in rilievo 2 grassetto più grassetto 3 grassetto x grassetto meno grassetto 10 grassetto x grassetto meno grassetto 30 grassetto uguale grassetto x grassetto in rilievo 2 grassetto meno grassetto 7 grassetto x grassetto meno grassetto 30

Passaggio 3

La forma fattorizzata è:

grassetto x alzato in grassetto 2 grassetto meno grassetto 7 grassetto x grassetto meno grassetto 30 grassetto uguale parentesi aperta grassetto x grassetto meno grassetto 10 parentesi chiusa parentesi aperta grassetto x grassetto più grassetto 3 parentesi chiusa

4. Scomponi la seguente espressione:

grassetto x al grassetto 3 grassetto più grassetto x al grassetto 2 grassetto meno grassetto x grassetto meno grassetto 1

Passo 1

Notiamo che questa espressione ha quattro termini. Li raggruppiamo a coppie in modo da ottenere un fattore comune:

grassetto x alzato in grassetto 3 grassetto più grassetto x alzato in grassetto 2 grassetto meno grassetto x grassetto meno grassetto 1 grassetto uguale parentesi aperta grassetto x alzato in grassetto 3 grassetto meno grassetto x chiudere parentesi grassetto più parentesi aperte grassetto x alzato in grassetto 2 grassetto meno grassetto 1 parentesi chiusa grassetto è uguale a grassetto x parentesi aperta grassetto x alzata a grassetto 2 grassetto meno grassetto 1 parentesi chiusa grassetto più parentesi aperta grassetto x alzata a grassetto 2 grassetto meno di grassetto 1 parentesi grassetto chiusa grassetto è uguale a grassetto parentesi sinistra grassetto x alzata a grassetto 2 grassetto meno grassetto 1 grassetto parentesi a destra grassetto parentesi a sinistra grassetto x grassetto più grassetto 1 grassetto parentesi a destra

Passo 2

Scomponiamo il binomio quadrato (x2-1):

parentesi aperta grassetto x in grassetto 2 grassetto meno grassetto 1 parentesi chiusa grassetto uguale parentesi aperta grassetto x grassetto più grassetto 1 parentesi chiusa parentesi aperta grassetto x grassetto meno grassetto 1 parentesi chiusa

Passaggio 3

La forma scomposta finale è:

grassetto x alzato in grassetto 3 grassetto più grassetto x alzato in grassetto 2 grassetto meno grassetto x grassetto meno grassetto 1 grassetto uguale parentesi aperta grassetto x grassetto più grassetto 1 parentesi chiusa parentesi aperta grassetto x grassetto meno grassetto 1 parentesi aperta parentesi aperta grassetto x grassetto meno grassetto 1 parentesi chiusa grassetto uguale parentesi aperta grassetto x grassetto più grassetto 1 parentesi chiusa parentesi aperta grassetto x grassetto meno grassetto 1 parentesi chiusa grassetto 2

Esercizi di factoring (con risposta)

dimensione dello stile 16px 1 spazio tra parentesi a destra 24 normale x rialzato 9 normale y al quadrato meno 6 normale x rialzato 6 normale y rialzato 7 normale z rialzato 4 stile finale

Primo passo: ottenere il fattore comune dei due termini del polinomio. In questo caso il fattore comune tra 24 e 6 è 6, tra x9 e x6 è x6, tra y2 e y7 è y2. In questo modo, il fattore comune del polinomio è:

dimensione dello stile 16px 6 normale x alzata a 6 stile normale e quadrato

Secondo passo: determiniamo i secondi fattori dal fattore comune:

dimensione dello stile 16px numeratore della frazione 24 normale x alla potenza di 9 normale e al quadrato tra denominatore 6 normale x alla potenza di 6 normale e frazione terminale al quadrato uguale a 4 x spazio a cubetti spazio spazio spazio spazio punto e virgola spazio spazio spazio spazio spazio spazio spazio spazio spazio spazio spazio frazione numeratore 6 normale x elevato a 6 normale y elevato a 7 normale z elevato a 4 tra denominatore 6 normale x elevato a 6 normale e frazione terminale al quadrato uguale normale e elevato a 5 normale z elevato a 4 estremità stile

Terzo passo: fattoriamo sottraendo il fattore comune che moltiplica i secondi fattori che vengono sottratti:

dimensione dello stile 16px 6 normale x alla potenza di 6 normale y al quadrato parentesi aperta 4 normale x al cubo meno normale y alla potenza di 5 normale z alla potenza di 4 parentesi chiusa stile

Rivelare

2 parentesi a destra normale a al quadrato parentesi a sinistra normale a più normale b parentesi a destra meno 2 ab parentesi a sinistra normale a più normale b parentesi a destra più normale b al quadrato parentesi a sinistra normale a più normale b parentesi a destra

Primo passo: otteniamo il fattore comune tra i tre termini del polinomio, in questo caso è (a+b):

parentesi sinistra normale a più normale b parentesi destra parentesi sinistra normale a al quadrato meno 2 ab più normale b al quadrato spazio parentesi

Secondo passo: abbiamo un nuovo polinomio che possiamo scomporre:

normale a al quadrato meno 2 ab più normale b al quadrato uguale a parentesi aperte normale a meno normale b parentesi chiuse aperte normali a meno normale b parentesi chiuse uguale a parentesi aperte normale a meno normale b parentesi chiuse al quadrato

Terzo passo: scriviamo i fattori ottenuti:

dimensione stile 16px parentesi a sinistra normale a più normale b parentesi a destra parentesi a sinistra normale a meno normale b parentesi a destra fine al quadrato

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dimensione dello stile 16px 3 spazio tra parentesi a destra 8 normale a al cubo più 125 normale b al cubo stile finale

Possiamo scomporre i numeri 8 e 125 nei rispettivi fattori comuni. Abbiamo quindi:

dimensione dello stile 16px 8 è uguale a 2 volte 2 volte 2 è uguale a 2 spazio a cubetti spazio spazio spazio spazio spazio punto e virgola spazio 125 è uguale a 5 volte 5 volte 5 è uguale a 5 a cubetti stile finale

Sostituiamo questi valori

dimensione dello stile 16px 2 al cubo normale a al cubo più 5 al cubo normale b al cubo uguale a parentesi aperta 2 normale a parentesi chiusa al cubo più parentesi aperta 5 normale b parentesi chiusa al cubo stile finale

Seguendo la regola per scomporre un binomio dalla somma di due cubi, abbiamo:

dimensione dello stile 16px parentesi aperta 2 normale a più 5 normale b parentesi chiusa parentesi sinistra parentesi aperta 2 normale a parentesi chiusa al quadrato meno 2 normale a volte 5 normale b più parentesi aperta 5 normale b parentesi chiusa al quadrato parentesi destra stile fine

Fissiamo i termini e otteniamo la fattorizzazione del binomio:

dimensione stile 16px parentesi aperta 2 normale a più 5 normale b parentesi chiusa parentesi aperta 4 normale a al quadrato meno 10 ab più 25 normale b al quadrato chiudere parentesi stile fine

Rivelare

dimensione dello stile 16px 4 spazio tra parentesi a destra 64 da normale a meno 125 da normale a rialzato 4 stile finale

Per prima cosa, scomponiamo i numeri 64 e 125 nei loro fattori primi e li sostituiamo nel binomio:

64 è uguale a 2 volte 2 volte 2 volte 2 volte 2 volte 2 è uguale a 2 alla potenza di 6 spazio spazio spazio punto e virgola spazio spazio 125 è uguale a 5 volte 5 volte 5 è uguale a 5 al cubo 2 alla potenza di 6 normale meno 5 al cubo normale a elevato a 4

Entrambi i termini hanno un in comune, quindi lo estraiamo come fattore comune:

dimensione dello stile 16px da normale a parentesi a sinistra 2 aumentata a 6 meno 5 a cubetti da normale a parentesi a cubetti fine stile

Possiamo trasformare gli elementi tra parentesi in modo che sia un binomio di cubi:

dimensione dello stile 16px parentesi a sinistra 2 al quadrato parentesi a destra al cubo meno parentesi a sinistra 5 parentesi da normale a destra al cubo stile finale

Fattorezziamo seguendo la regola della differenza di due cubi (x3-y3=(xy)(x2+xy+y2):

parentesi aperta 2 al quadrato parentesi chiusa al cubo meno parentesi aperta 5 parentesi da normale a chiusa al cubo uguale a parentesi aperta 2 al quadrato meno 5 parentesi da normale a chiusa parentesi aperta parentesi sinistra 2 al quadrato parentesi destra al quadrato più 2 elevata a 2 estremità sollevata 5 da normale a più parentesi a sinistra 5 parentesi normale a destra al quadrato parentesi chiusa spazio spazio spazio spazio spazio spazio spazio spazio spazio spazio spazio spazio spazio spazio spazio spazio spazio spazio spazio spazio è uguale a parentesi sinistra 2 al quadrato meno 5 parentesi normale a destra parentesi sinistra 2 alla potenza di 4 più 20 normale a più 25 parentesi da normale a quadrata a destra

Fissiamo i termini fattorizzati:

dimensione dello stile 16px da normale a sinistra parentesi parentesi a sinistra 2 al quadrato meno 5 da normale a destra parentesi parentesi a sinistra 2 elevato a 4 meno 20 da normale a più 25 da normale a quadrato parentesi destra parentesi destra stile finale

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dimensione dello stile 16px 5 parentesi a destra spazio normale m al quadrato meno 20 normale m meno 300 stile finale

Seguiamo le regole per la fattorizzazione di un’equazione quadratica per raggruppamento. I coefficienti sono a= 1, b=-20 e c=-300. Cerchiamo quali fattori corrente alternata quando aggiunto ci dà Bcioè due fattori che moltiplicati ci danno (-300) e sommati (-20).

Due numeri che si moltiplicano per darci -300 sono 10 e -30. Se li aggiungiamo, otteniamo -20. I fattori sono:

dimensione stile 16px parentesi aperta normale m più 10 parentesi chiusa parentesi aperta normale m meno 30 parentesi chiusa stile fine

Rivelare

6 parentesi a destra spazio bx al quadrato meno normale b meno normale x al quadrato più 1

Raggruppiamo i termini con l’elemento b:

dimensione dello stile 16px parentesi aperta bx al quadrato meno normale b parentesi chiusa meno parentesi aperta normale x al quadrato meno 1 parentesi chiusa stile fine

Prendiamo il fattore b come fattore comune del primo termine:

dimensione dello stile 16px normale b parentesi aperta normale x al quadrato meno 1 chiusa parentesi meno parentesi aperte normale x al quadrato meno 1 parentesi chiuse stile finale

Ora abbiamo un fattore comune (x2 -1) che moltiplica ab e a -1.

dimensione dello stile 16px parentesi aperta normale x al quadrato meno 1 parentesi chiusa parentesi aperta normale b meno 1 parentesi chiusa stile fine

Rivelare

7 parentesi a destra spazio sono al cubo meno 7 al quadrato più 00:00

Prendiamo m come fattore comune:

dimensione stile 16px am parentesi aperta am al quadrato meno 7 am più 12 parentesi chiusa stile fine

Scomponiamo il polinomio tra parentesi. Per questo cerchiamo due fattori che moltiplicati danno 12 e sommati danno -7; questi fattori sono -4 e -3:

dimensione dello stile 16px am quadrato meno 7 am più 12 uguale parentesi sinistra am meno 4 parentesi destra parentesi sinistra am meno 3 parentesi destra fine stile

Concludiamo la fattorizzazione:

dimensione dello stile 16px am parentesi a sinistra parentesi aperte am meno 4 parentesi chiuse aperte parentesi am meno 3 parentesi chiuse a destra stile finale

Rivelare

8 parentesi a destra spazio 5 ax al cubo più 10 ax al quadrato meno 5 ax meno 10 normale a

Risolviamo i termini con il fattore comune 5ax e 10a:

parentesi a sinistra 5 ax al cubo meno 5 ax parentesi a destra più parentesi a sinistra 10 ax al quadrato meno 10 parentesi da normale a destra

Rimuoviamo i fattori comuni da ciascuna parentesi:

dimensione dello stile 16px 5 ax parentesi aperte normale x al quadrato meno 1 parentesi chiuse più 10 parentesi aperte normali normale x al quadrato meno 1 parentesi chiusa stile finale

Ora abbiamo come fattore comune tra le due parentesi 5a:

dimensione dello stile 16px 5 parentesi normale ad aperta normale x parentesi aperta normale x al quadrato meno 1 parentesi chiusa più 2 parentesi aperte normale x al quadrato meno 1 parentesi chiusa stile fine parentesi

Prendiamo come fattore comune x2 -1:

dimensione stile 16px 5 da normale ad aperta parentesi normale x al quadrato meno 1 parentesi chiusa parentesi aperta normale x più 2 parentesi chiusa stile fine

Fissiamo i fattori e la risposta è:

dimensione stile 16px 5 da normale ad aperta parentesi normale x più 1 parentesi chiusa parentesi aperta normale x meno 1 parentesi chiusa parentesi aperta normale x più 2 parentesi chiusa stile fine

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