Fattorizzazione: cos’è e come scomporre (con esempi)

La fattorizzazione o scomposizione fattoriale è il processo di presentare un’espressione matematica o un numero in forma di moltiplicazione. Ricordiamo che il fattori sono gli elementi della moltiplicazione e il risultato è noto come Prodotto.

Tipi di fattorizzazione

In termini generali, possiamo parlare di due tipi di fattorizzazione: la fattorizzazione degli interi e la fattorizzazione delle espressioni algebriche.

Fattorizzazione in numeri primi

Ogni numero intero può essere scomposto nel suo fattori primari. UN numero primo è ciò che è divisibile solo per 1 e per se stesso. Ad esempio, 2 può essere diviso solo per 1 e 2.

Possiamo scomporre un dato numero X come moltiplicazione dei suoi fattori primi. Ad esempio, il numero 525 è composto dai numeri primi 5, 3 e 7 come segue:

Fattorizzazione di espressioni algebriche

L’obiettivo del factoring è prendere un polinomio complicato ed esprimerlo come prodotto dei suoi fattori polinomiali semplici.

Chiamata fattori o divisori da un’espressione algebrica alle espressioni algebriche che moltiplicate insieme danno la prima espressione come prodotto. Per esempio:

I fattori sono:

Come scomporre

Quando parliamo di factoring, possiamo seguire i seguenti consigli:

1. Osservare se c’è un fattore comune, cioè se c’è un fattore che si ripete nei diversi termini.
2. Ordina l’espressione: a volte quando si organizza l’espressione ci rendiamo conto delle possibilità di factoring.
3. Scopri se l’espressione è fattorizzabile: a volte siamo in presenza di espressioni che non possono essere scomposte in fattori.
4. Verificare se i fattori trovati sono a loro volta fattorizzabili.

Passaggi per trovare il fattore comune di un polinomio

Il fattore comune di un polinomio è il passaggio precedente alla fattorizzazione di un polinomio. Spiegheremo passo dopo passo come trovare il fattore comune del seguente polinomio:

Passo 1

Otteniamo il massimo comune fattore di 24 e 16. I fattori di 24 sono 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24; i fattori di 16 sono 1, 2, 4, 8 e 16. Il massimo comune fattore è 8.

Passo 2

Otteniamo i fattori comuni delle variabili, in questo caso le variabili comuni con la massima potenza comune. Le variabili comuni sono X e e. Il più alto potere comune di X è x6 e il più alto potere comune di e è y3.

Passaggio 3

Scriviamo il fattore comune del polinomio come prodotto dei passaggi 1 e 2 precedenti:

Fattorizzazione dei polinomi

Conosciamo già il fattore comune del polinomio, quindi possiamo passare a fattorizzare:

Passo 1

Determiniamo il fattore comune del polinomio:

Passo 2

Riscriviamo ogni termine del polinomio in termini di fattore comune. Per questo prima dividiamo il termine per il fattore comune per ottenere un secondo fattore:

Ora sostituiamo ogni termine con il fattore comune e il rispettivo secondo fattore:

Nota: 8x6y3(3×2)- 8x6y3(2y4z3) non è la forma fattorizzata perché i fattori non sono ancora separati.

Passaggio 3

Usiamo la proprietà distributiva per ottenere il fattore comune:

Passaggio 4

Esaminiamo i passaggi:

Fattorizzazione di quattro termini

Possiamo scomporre un polinomio a quattro termini raggruppandoli in coppie. Diamo un’occhiata al seguente esempio:

Passo 1

Riorganizziamo i termini in modo tale che i primi due abbiano un fattore comune e anche gli altri due abbiano un fattore comune:

Passo 2

Consideriamo il X del primo mandato e del e come fattore comune del secondo termine:

Passaggio 3

Usiamo la proprietà distributiva per fattorizzare il termine (a+b) dell’espressione:

Fattorizzazione di un’equazione quadratica

Quando abbiamo un polinomio di tre termini, questo può essere a trinomio quadratico della forma ax2+bx+c. Questa espressione si ottiene dalla moltiplicazione di due binomi:

Quando si scompone un’equazione quadratica come x2+9x+14vogliamo ottenere i due binomi che l’hanno originato: (x+7)(x+2).

Fattorizzazione di un’equazione quadratica per tentativi ed errori

Per l’espressione 4×2-11x-3 cerchiamo due fattori binomiali. 4×2 è il primo termine, quindi la moltiplicazione dei primi coefficienti numerici dei binomi deve essere 4. L’ultimo termine è -3, quindi gli ultimi termini dei fattori hanno segni diversi il cui prodotto è -3. Possiamo provare varie combinazioni:

Questa opzione non è corretta.

Questa opzione non è corretta.

Questa è l’opzione corretta.

Fattorizzazione di un’equazione quadratica per raggruppamento

Per fattore per raggruppamento, identifichiamo i coefficienti a, B e C e cerchiamo due fattori corrente alternata la cui somma è B. Ad esempio, per l’equazione 4×2-11x-3i coefficienti sono a=4, B=-11 e C=-3.

I fatti corrente alternata=(4)(-3)=-12. Due fattori di -12 che sommano a -11 sono -12 e 1.

Ora sostituiamo il termine medio di 4×2-11x-3 insieme a -12x+1x.

Raggruppiamo i termini a coppie e cerchiamo il fattore comune:

Applichiamo la proprietà distributiva al fattore (x-3):

La forma fattorizzata è quindi:

Fattorizzazione di trinomi quadrati perfetti

Un trinomio quadrato perfetto è quello in cui il valore assoluto del coefficiente b è uguale al doppio del prodotto delle radici di a e C:

Ad esempio, nell’equazione 4×2-20x+25, a=4, B=-20, C=25, quindi:

Questo lo indica 4×2-20x+25 può essere scomposto come quadrato di un binomio:

Il primo termine sarà la radice quadrata di 4×2 e l’ultimo termine sarà la radice quadrata di C:

Il segno nel binomio è lo stesso del termine medio del trinomio.

Vedi anche equazioni quadratiche di secondo grado.

Fattorizzazione dei binomi

I binomi fattoriali sono:

• la differenza di due quadrati (x2-y2),
• la differenza di due cubi (x3-y3) e
• la somma di due cubi (x3+y3).

La fattorizzazione della differenza di due quadrati (x2-y2) è:

Esempio:

La fattorizzazione della differenza di due cubi (x3-y3) è:

Esempio:

La fattorizzazione della somma di due cubi (x3+y3) è:

Esempio:

Guarda anche

Esercizi di fattorizzazione risolti

1. Scomponi la seguente espressione:

Passo 1

Il fattore comune è (x-1).

Passo 2

Applicare la proprietà distributiva al fattore (x-1):

2. Scomponi la seguente espressione:

Passo 1

Prendiamo come fattore comune 25x2y2z

Passo 2

Consideriamo la differenza di due quadrati che è 4×2-1.

Passaggio 3

La forma fattorizzata completa è:

3. Scomponi la seguente espressione:

Passo 1

Questa espressione è un’equazione quadratica, quindi cerchiamo fattori binomiali:

Passo 2

Stiamo cercando due numeri che moltiplicati danno -30 e sommati danno -7. Proviamo con -10 e 3:

Passaggio 3

La forma fattorizzata è:

4. Scomponi la seguente espressione:

Passo 1

Notiamo che questa espressione ha quattro termini. Li raggruppiamo a coppie in modo da ottenere un fattore comune:

Passo 2

Scomponiamo il binomio quadrato (x2-1):

Passaggio 3

La forma scomposta finale è:

Esercizi di factoring (con risposta)

Primo passo: ottenere il fattore comune dei due termini del polinomio. In questo caso il fattore comune tra 24 e 6 è 6, tra x9 e x6 è x6, tra y2 e y7 è y2. In questo modo, il fattore comune del polinomio è:

Secondo passo: determiniamo i secondi fattori dal fattore comune:

Terzo passo: fattoriamo sottraendo il fattore comune che moltiplica i secondi fattori che vengono sottratti:

Rivelare

Primo passo: otteniamo il fattore comune tra i tre termini del polinomio, in questo caso è (a+b):

Secondo passo: abbiamo un nuovo polinomio che possiamo scomporre:

Terzo passo: scriviamo i fattori ottenuti:

Rivelare

Possiamo scomporre i numeri 8 e 125 nei rispettivi fattori comuni. Abbiamo quindi:

Sostituiamo questi valori

Seguendo la regola per scomporre un binomio dalla somma di due cubi, abbiamo:

Fissiamo i termini e otteniamo la fattorizzazione del binomio:

Rivelare

Per prima cosa, scomponiamo i numeri 64 e 125 nei loro fattori primi e li sostituiamo nel binomio:

Entrambi i termini hanno un in comune, quindi lo estraiamo come fattore comune:

Possiamo trasformare gli elementi tra parentesi in modo che sia un binomio di cubi:

Fattorezziamo seguendo la regola della differenza di due cubi (x3-y3=(xy)(x2+xy+y2):

Fissiamo i termini fattorizzati:

Rivelare

Seguiamo le regole per la fattorizzazione di un’equazione quadratica per raggruppamento. I coefficienti sono a= 1, b=-20 e c=-300. Cerchiamo quali fattori corrente alternata quando aggiunto ci dà Bcioè due fattori che moltiplicati ci danno (-300) e sommati (-20).

Due numeri che si moltiplicano per darci -300 sono 10 e -30. Se li aggiungiamo, otteniamo -20. I fattori sono:

Rivelare

Raggruppiamo i termini con l’elemento b:

Prendiamo il fattore b come fattore comune del primo termine:

Ora abbiamo un fattore comune (x2 -1) che moltiplica ab e a -1.

Rivelare

Prendiamo m come fattore comune:

Scomponiamo il polinomio tra parentesi. Per questo cerchiamo due fattori che moltiplicati danno 12 e sommati danno -7; questi fattori sono -4 e -3:

Concludiamo la fattorizzazione:

Rivelare

Risolviamo i termini con il fattore comune 5ax e 10a:

Rimuoviamo i fattori comuni da ciascuna parentesi:

Ora abbiamo come fattore comune tra le due parentesi 5a:

Prendiamo come fattore comune x2 -1:

Fissiamo i fattori e la risposta è:

Rivelare