In matematica, la gerarchia delle operazioni si riferisce all’ordine in cui devono essere eseguite le operazioni matematiche. Immaginiamo la seguente situazione:
2 + 3 x 4 – 5 ÷ 5
Potremmo fare il seguente calcolo:
- Prima aggiungiamo 2 + 3, poi moltiplichiamo per 4, quindi sottraiamo 5 e infine dividiamo per 5.
- Oppure potremmo aggiungere 2 più 3, sottrarre 4 e 5, moltiplicare quel risultato e dividere alla fine per 5.
In entrambi i casi, il risultato è diverso. Per questo motivo ci sono delle regole o istruzioni che devono essere seguite affinché una serie di operazioni matematiche sia risolta sempre allo stesso modo. In questo modo, nell’espressione 2 + 3 x 4 -5 ÷ 5 il risultato corretto è 13 perché:
- prima si fanno le moltiplicazioni e le divisioni: 3 x 4 = 12, 5 ÷ 5 =1
- quindi le addizioni e le sottrazioni vengono eseguite nella direzione da sinistra a destra:
2 + 12 = 14, 14 – 1 = 13.
Chiave per lo sviluppo della gerarchia delle operazioni
Regola mnemonica per ricordare la gerarchia delle operazioni.
Le operazioni matematiche vengono eseguite come segue:
- I calcoli vengono eseguiti da sinistra a destra.
- Se sono presenti parentesi o altri segni di raggruppamento, tali operazioni vengono eseguite per prime.
- L’ordine successivo è quello di risolvere gli esponenti.
- Il prossimo passo è testare le moltiplicazioni e le divisioni.
- Infine si eseguono le addizioni e le sottrazioni indicate.
Per ricordare l’ordine delle operazioni, possiamo usare un mnemonico PEMDAS: Pparentesi, Eesponenti, mmoltiplicazioni/Dvisioni, Adetti/sìustrazioni.
Raggruppamento dei segni nella gerarchia delle operazioni
I segni di raggruppamento indicano che le operazioni al loro interno vengono eseguite per prime. Questi sono:
- parentesi ( )
- parentesi quadra [ ]
- chiavi { }
Barre delle frazioni — Barre del valore assoluto | | e anche il simbolo della radice √ si qualificano come segni di raggruppamento.
Ad esempio, 5 x (3 + 4), questo indica che dobbiamo prima aggiungere ciò che c’è tra parentesi e quindi moltiplicare quel risultato per 5:
5x(3 + 4) = 5x(7)= 5×7= 35
Quando compaiono diversi segni di raggruppamento, l’ordine di risoluzione è il seguente: prima le parentesi, seguite da parentesi e parentesi graffe alla fine, cioè dall’interno verso l’esterno.
{[(3+4) + (4-3)] x(2 + 1)}
Per prima cosa risolviamo le operazioni tra parentesi:
{[7 + 1]x3}
Quindi, le operazioni tra parentesi sono risolte:
{[7+1] x3}= {8×3}
Infine, vengono sviluppate le parentesi graffe:
{ 8 x 3 } = 24
Esempio
In questo caso abbiamo una barra delle frazioni, quindi eseguiamo prima le operazioni sopra e sotto la barra:
7+ 5 = 12 e 3 + 1 = 4, ci rimane la frazione 12/4 che è uguale a 3:
Operazioni di addizione e sottrazione in cui non sono presenti segni di raggruppamento
In questo caso, le operazioni vengono eseguite nell’ordine presentato:
5 + 3 – 4 + 2 – 6 + 2 ⇒
5 + 3 = 8,
8 – 4 = 4,
4 + 2 = 6,
6 – 6 = 0,
0 + 2 = 2
Esempio
1) 32-19+40-20+30-50
Eseguiamo le operazioni passo dopo passo:
32-19=13,
13+40=53,
53-20=33,
33+30=63,
63-50=13
2) 60-40+108-104+320-133-45
Eseguiamo le operazioni passo dopo passo:
60 – 40 = 20,
20 + 108 = 128,
128 – 104 = 24,
24 + 320 = 344,
344 – 133 = 211,
211 – 45 = 166.
Operazioni di addizione e sottrazione in cui sono presenti segni di raggruppamento
Le operazioni tra parentesi vengono eseguite prima fino a quando rimane un solo numero:
678 – [(34 + 28) + (73 – 15) – (12 + 43)]⇒
34 + 28 = 62, 73 – 15 = 58, 12 + 43 = 55,
quindi si risolvono le operazioni all’interno della parentesi:
62 + 58 = 120, 120 -55 = 65,
Infine, vengono eseguite le restanti operazioni;
678 – 65 = 613.
Operazioni di moltiplicazione in cui non sono presenti segni di raggruppamento
Quando non ci sono segni di raggruppamento, vengono eseguite prima le moltiplicazioni, seguite da addizioni e sottrazioni:
3×4 + 5×6 ⇒
3 x 4 = 125 x 6 = 30,
12 + 30 = 42
Esempio
15 – 5 x 3 + 4, si fa prima la moltiplicazione:
5 x 3 = 15;
quindi addizioni e sottrazioni nell’ordine in cui appaiono:
15 -15 + 4 ⇒15 – 15 = 0,
0 + 4 = 4.
Operazioni di moltiplicazione con segni di raggruppamento
In questi casi vengono eseguite prima le operazioni racchiuse nei segni di raggruppamento, quindi le operazioni indicate:
(5 – 2) 3 + 6 (4 – 1) ⇒ le operazioni tra parentesi:
5 – 2 = 3,
4 – 1 = 3;
Ora si eseguono le moltiplicazioni corrispondenti:
(3 )3 = 9 e 6 (3) = 18; Infine si aggiungono i due termini ottenuti:
9+18= 27
Esempio
(20 – 5 + 2)(16 – 3 + 2 – 1)⇒ 20 – 5 = 15, 15 + 2 = 17;
16 – 3 = 13, 13 + 2 = 15, 15 – 1 =14;
quindi moltiplichiamo i risultati ottenuti dalle parentesi:
17×14=238
Operazioni di divisione o moltiplicazione in cui non sono presenti segni di raggruppamento
In questi casi vengono eseguite prima le divisioni e le moltiplicazioni, quindi le addizioni e le sottrazioni:
12 ÷ 3 x 4 ÷ 2 x 6; le divisioni sono 12 ÷ 3 = 4 e 4 ÷ 2 = 2;
quindi l’espressione diventa 4 x 2 x 6 = 48.
Esempio
10 ÷ 5 + 4 – 16 ÷ 8 – 2 + 4 ÷ 4 – 1⇒ prima eseguiamo le divisioni:
10 ÷5 = 2, 16 ÷ 8 = 2, 4 ÷ 4 = 1;
proseguiamo le operazioni indicate nell’ordine: 2 + 4 – 2 – 2 + 1 – 1
2 + 4 = 6, 6 – 2 = 4, 4 – 2 = 2, 2 + 1 = 3, 3 – 1 = 2.
La risposta finale a 10 ÷ 5 + 4 – 16 ÷ 8 – 2 + 4 ÷ 4 – 1 è 2.
Operazioni di divisione o moltiplicazione con segni di raggruppamento
In questi casi vengono eseguite prima le operazioni racchiuse nei segni di raggruppamento, quindi le operazioni indicate:
150 ÷ (25 x 2) + 32 ÷ (8 x 2)⇒ eseguiamo prima le operazioni tra parentesi:
25 x 2 = 50, 8 x 2 = 16;
quindi eseguiamo le divisioni:
150 ÷ 50 = 3, 32 ÷ 16 = 2;
Infine facciamo la somma:
3 + 2 = 5.
Esempio
200 ÷ (8 – 6) (5 – 3)⇒ eseguiamo le operazioni tra parentesi:
8 – 6 = 2, 5 – 3 = 2;
Quindi eseguiamo la divisione:
200 ÷ 2 = 100;
ed infine la moltiplicazione:
100 x 2 = 200
La risposta finale a 150 ÷ (25 x 2) + 32 ÷ (8 x 2) è 200.
Operazioni con radici √
Il simbolo radicale √ funziona anche come segno di raggruppamento, quindi le operazioni racchiuse da questo simbolo devono essere eseguite prima:
Per prima cosa espandiamo la somma sotto la radice quadrata:
12 + 13 = 25; prendiamo la radice quadrata di 25:
√25 = 5; quindi esegui la moltiplicazione:
4 x 5 = 20;
terminiamo con la somma:
3 + 20 = 23.
Operazioni con esponenti
Anche le espressioni con esponenti hanno la precedenza su altre operazioni.
60 – 3×4 + (1 + 1)2.
Eseguiamo l’operazione tra parentesi:
(1+ 1)2 = 22 = 4;
Continuiamo con la moltiplicazione:
3 x 4 = 12; Concludiamo le operazioni nell’ordine indicato:
60 – 12 + 4 = 52
Esercizi per esercitarsi nell’ordine delle operazioni
Quello che c’è tra parentesi viene risolto per primo:
In secondo luogo, la divisione è risolta:
Infine, si esegue questa moltiplicazione:
Risposta= 96
Rivelare
Aggiungiamo tutti i termini positivi:
Aggiungiamo tutti i termini negativi:
Quindi sottraiamo i due risultati precedenti:
Risposta= 778
Rivelare
Per prima cosa risolviamo le operazioni tra parentesi:
Ora sostituiamo i risultati nelle rispettive posizioni ed eseguiamo le operazioni delle parentesi quadre:
Eseguiamo l’ultima operazione:
Risposta= 15
Rivelare
Per prima cosa eseguiamo le moltiplicazioni:
Ora aggiungiamo i termini positivi:
Quindi aggiungiamo i termini negativi:
Infine sottraiamo i risultati precedenti:
Risposta= 35
Rivelare
Per prima cosa eseguiamo le operazioni tra parentesi:
Successivamente, eseguiamo le moltiplicazioni:
Infine facciamo l’addizione e la sottrazione:
Risposta= 38
Rivelare
Per prima cosa risolviamo le divisioni:
Quindi risolviamo le moltiplicazioni:
Concludiamo le restanti operazioni:
Risposta= 52
Rivelare
Per prima cosa facciamo le parentesi:
6-1=5; 9 – 3 = 6;
quindi eseguiamo le divisioni tra parentesi:
15 ÷ 5 = 3; 6 ÷ 2 = 3;
Procediamo con la sottrazione all’interno della parentesi:
finiamo con la moltiplicazione: 9 x 0 = 0
Risposta= 0.
Rivelare
Per prima cosa facciamo le parentesi:
2 + 5 = 7;
Quindi gli esponenti: 3 2 = 9;
Quindi le divisioni e le moltiplicazioni:
Concludiamo con le addizioni e sottrazioni:
Risposta= 163.
Rivelare