La fattorizzazione o scomposizione fattoriale è il processo di presentare un’espressione matematica o un numero in forma di moltiplicazione. Ricordiamo che il fattori sono gli elementi della moltiplicazione e il risultato è noto come Prodotto.
Tipi di fattorizzazione
In termini generali, possiamo parlare di due tipi di fattorizzazione: la fattorizzazione degli interi e la fattorizzazione delle espressioni algebriche.
Fattorizzazione in numeri primi
Ogni numero intero può essere scomposto nel suo fattori primari. UN numero primo è ciò che è divisibile solo per 1 e per se stesso. Ad esempio, 2 può essere diviso solo per 1 e 2.
Possiamo scomporre un dato numero X come moltiplicazione dei suoi fattori primi. Ad esempio, il numero 525 è composto dai numeri primi 5, 3 e 7 come segue:
Fattorizzazione di espressioni algebriche
L’obiettivo del factoring è prendere un polinomio complicato ed esprimerlo come prodotto dei suoi fattori polinomiali semplici.
Chiamata fattori o divisori da un’espressione algebrica alle espressioni algebriche che moltiplicate insieme danno la prima espressione come prodotto. Per esempio:
I fattori sono:
Come scomporre
Quando parliamo di factoring, possiamo seguire i seguenti consigli:
- Osservare se c’è un fattore comune, cioè se c’è un fattore che si ripete nei diversi termini.
- Ordina l’espressione: a volte quando si organizza l’espressione ci rendiamo conto delle possibilità di factoring.
- Scopri se l’espressione è fattorizzabile: a volte siamo in presenza di espressioni che non possono essere scomposte in fattori.
- Verificare se i fattori trovati sono a loro volta fattorizzabili.
Passaggi per trovare il fattore comune di un polinomio
Il fattore comune di un polinomio è il passaggio precedente alla fattorizzazione di un polinomio. Spiegheremo passo dopo passo come trovare il fattore comune del seguente polinomio:
Passo 1
Otteniamo il massimo comune fattore di 24 e 16. I fattori di 24 sono 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12 e 24; i fattori di 16 sono 1, 2, 4, 8 e 16. Il massimo comune fattore è 8.
Passo 2
Otteniamo i fattori comuni delle variabili, in questo caso le variabili comuni con la massima potenza comune. Le variabili comuni sono X e e. Il più alto potere comune di X è x6 e il più alto potere comune di e è y3.
Passaggio 3
Scriviamo il fattore comune del polinomio come prodotto dei passaggi 1 e 2 precedenti:
Fattorizzazione dei polinomi
Conosciamo già il fattore comune del polinomio, quindi possiamo passare a fattorizzare:
Passo 1
Determiniamo il fattore comune del polinomio:
Passo 2
Riscriviamo ogni termine del polinomio in termini di fattore comune. Per questo prima dividiamo il termine per il fattore comune per ottenere un secondo fattore:
Ora sostituiamo ogni termine con il fattore comune e il rispettivo secondo fattore:
Nota: 8x6y3(3×2)- 8x6y3(2y4z3) non è la forma fattorizzata perché i fattori non sono ancora separati.
Passaggio 3
Usiamo la proprietà distributiva per ottenere il fattore comune:
Passaggio 4
Esaminiamo i passaggi:
Fattorizzazione di quattro termini
Possiamo scomporre un polinomio a quattro termini raggruppandoli in coppie. Diamo un’occhiata al seguente esempio:
Passo 1
Riorganizziamo i termini in modo tale che i primi due abbiano un fattore comune e anche gli altri due abbiano un fattore comune:
Passo 2
Consideriamo il X del primo mandato e del e come fattore comune del secondo termine:
Passaggio 3
Usiamo la proprietà distributiva per fattorizzare il termine (a+b) dell’espressione:
Fattorizzazione di un’equazione quadratica
Quando abbiamo un polinomio di tre termini, questo può essere a trinomio quadratico della forma ax2+bx+c. Questa espressione si ottiene dalla moltiplicazione di due binomi:
Quando si scompone un’equazione quadratica come x2+9x+14vogliamo ottenere i due binomi che l’hanno originato: (x+7)(x+2).
Fattorizzazione di un’equazione quadratica per tentativi ed errori
Per l’espressione 4×2-11x-3 cerchiamo due fattori binomiali. 4×2 è il primo termine, quindi la moltiplicazione dei primi coefficienti numerici dei binomi deve essere 4. L’ultimo termine è -3, quindi gli ultimi termini dei fattori hanno segni diversi il cui prodotto è -3. Possiamo provare varie combinazioni:
Questa opzione non è corretta.
Questa opzione non è corretta.
Questa è l’opzione corretta.
Fattorizzazione di un’equazione quadratica per raggruppamento
Per fattore per raggruppamento, identifichiamo i coefficienti a, B e C e cerchiamo due fattori corrente alternata la cui somma è B. Ad esempio, per l’equazione 4×2-11x-3i coefficienti sono a=4, B=-11 e C=-3.
I fatti corrente alternata=(4)(-3)=-12. Due fattori di -12 che sommano a -11 sono -12 e 1.
Ora sostituiamo il termine medio di 4×2-11x-3 insieme a -12x+1x.
Raggruppiamo i termini a coppie e cerchiamo il fattore comune:
Applichiamo la proprietà distributiva al fattore (x-3):
La forma fattorizzata è quindi:
Fattorizzazione di trinomi quadrati perfetti
Un trinomio quadrato perfetto è quello in cui il valore assoluto del coefficiente b è uguale al doppio del prodotto delle radici di a e C:
Ad esempio, nell’equazione 4×2-20x+25, a=4, B=-20, C=25, quindi:
Questo lo indica 4×2-20x+25 può essere scomposto come quadrato di un binomio:
Il primo termine sarà la radice quadrata di 4×2 e l’ultimo termine sarà la radice quadrata di C:
Il segno nel binomio è lo stesso del termine medio del trinomio.
Vedi anche equazioni quadratiche di secondo grado.
Fattorizzazione dei binomi
I binomi fattoriali sono:
- la differenza di due quadrati (x2-y2),
- la differenza di due cubi (x3-y3) e
- la somma di due cubi (x3+y3).
La fattorizzazione della differenza di due quadrati (x2-y2) è:
Esempio:
La fattorizzazione della differenza di due cubi (x3-y3) è:
Esempio:
La fattorizzazione della somma di due cubi (x3+y3) è:
Esempio:
Guarda anche
Esercizi di fattorizzazione risolti
1. Scomponi la seguente espressione:
Passo 1
Il fattore comune è (x-1).
Passo 2
Applicare la proprietà distributiva al fattore (x-1):
2. Scomponi la seguente espressione:
Passo 1
Prendiamo come fattore comune 25x2y2z
Passo 2
Consideriamo la differenza di due quadrati che è 4×2-1.
Passaggio 3
La forma fattorizzata completa è:
3. Scomponi la seguente espressione:
Passo 1
Questa espressione è un’equazione quadratica, quindi cerchiamo fattori binomiali:
Passo 2
Stiamo cercando due numeri che moltiplicati danno -30 e sommati danno -7. Proviamo con -10 e 3:
Passaggio 3
La forma fattorizzata è:
4. Scomponi la seguente espressione:
Passo 1
Notiamo che questa espressione ha quattro termini. Li raggruppiamo a coppie in modo da ottenere un fattore comune:
Passo 2
Scomponiamo il binomio quadrato (x2-1):
Passaggio 3
La forma scomposta finale è:
Esercizi di factoring (con risposta)
Primo passo: ottenere il fattore comune dei due termini del polinomio. In questo caso il fattore comune tra 24 e 6 è 6, tra x9 e x6 è x6, tra y2 e y7 è y2. In questo modo, il fattore comune del polinomio è:
Secondo passo: determiniamo i secondi fattori dal fattore comune:
Terzo passo: fattoriamo sottraendo il fattore comune che moltiplica i secondi fattori che vengono sottratti:
Rivelare
Primo passo: otteniamo il fattore comune tra i tre termini del polinomio, in questo caso è (a+b):
Secondo passo: abbiamo un nuovo polinomio che possiamo scomporre:
Terzo passo: scriviamo i fattori ottenuti:
Rivelare
Possiamo scomporre i numeri 8 e 125 nei rispettivi fattori comuni. Abbiamo quindi:
Sostituiamo questi valori
Seguendo la regola per scomporre un binomio dalla somma di due cubi, abbiamo:
Fissiamo i termini e otteniamo la fattorizzazione del binomio:
Rivelare
Per prima cosa, scomponiamo i numeri 64 e 125 nei loro fattori primi e li sostituiamo nel binomio:
Entrambi i termini hanno un in comune, quindi lo estraiamo come fattore comune:
Possiamo trasformare gli elementi tra parentesi in modo che sia un binomio di cubi:
Fattorezziamo seguendo la regola della differenza di due cubi (x3-y3=(xy)(x2+xy+y2):
Fissiamo i termini fattorizzati:
Rivelare
Seguiamo le regole per la fattorizzazione di un’equazione quadratica per raggruppamento. I coefficienti sono a= 1, b=-20 e c=-300. Cerchiamo quali fattori corrente alternata quando aggiunto ci dà Bcioè due fattori che moltiplicati ci danno (-300) e sommati (-20).
Due numeri che si moltiplicano per darci -300 sono 10 e -30. Se li aggiungiamo, otteniamo -20. I fattori sono:
Rivelare
Raggruppiamo i termini con l’elemento b:
Prendiamo il fattore b come fattore comune del primo termine:
Ora abbiamo un fattore comune (x2 -1) che moltiplica ab e a -1.
Rivelare
Prendiamo m come fattore comune:
Scomponiamo il polinomio tra parentesi. Per questo cerchiamo due fattori che moltiplicati danno 12 e sommati danno -7; questi fattori sono -4 e -3:
Concludiamo la fattorizzazione:
Rivelare
Risolviamo i termini con il fattore comune 5ax e 10a:
Rimuoviamo i fattori comuni da ciascuna parentesi:
Ora abbiamo come fattore comune tra le due parentesi 5a:
Prendiamo come fattore comune x2 -1:
Fissiamo i fattori e la risposta è:
Rivelare
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